2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 课程性质 电磁场理论是高等学校理工科电子类或信息类专业必修的一门专业基础理论课，其任务是介绍宏观电磁场和电磁波的基本规律，基本性质、基本分析方法和基本工程应用。 课程特点 1、基础知识广 2、课程系统性强 3、推导和计算难 4、概念多且抽象 课程学习目的 通过学习要求学生能完整地理解和掌握宏观电磁场的基本性质和基本规律，对电子信息工程中的电磁现象和电磁场问题能用场的观点进行分析和计算。课程考核重要考查学生是否掌握电磁场与电磁波的基础理论、基本知识及简单的分析应用。 学习基本要求 1、理解标量场与矢量场的概念；了解标量场的等值面和矢量场的矢量线的概念。 2、熟练掌握直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 3、矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析中最基本的概念，应深刻理解；掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法。 4、散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理，应熟练掌握和应用。 5、理解亥姆霍兹定理的重要意义。 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系 4. 坐标单位矢量之间的关系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 散度的意义：矢量场穿过包围单位体积的闭合曲面的通量，又称为通量密度。 散度定理是矢量的闭合曲面积分与该矢量的散度体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 1. 矢量线 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。 矢量线方程： 概念：矢量线是一条曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。 矢量线 O M 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 在讨论通量之前，先介绍面积元矢量 ——面积元的法向单位矢量； 如果曲面 S 是闭合曲面，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，即外法线方向。 面积元矢量 ——面积元矢量； 如果曲面 S 是由闭合曲线C围成的开曲面，则按右手螺旋法则规定 的方向。 通量的定义 面积元矢量 P 则定义 ——矢量场 穿过面积元 的通量。 矢量场分布所在区域中任一点P，在P附近取一面积元ds，其法向单位矢量为 ，该点的矢量场为 如果曲面 S 是闭合的，则矢量场穿过闭合曲面的通量是 矢量场穿过有限大面积S的通量为： 通过闭合曲面有净的矢量线穿出 有净的矢量线进入 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。 通量的物理意义 3. 矢量场的散度 设想有一包围P点的闭合曲面，逐渐收缩到P点附近，则该闭合曲面所包含的体积将逐渐减少，且矢量场穿过闭合曲面的通量也逐渐减少。但在一般情况下，两者之比有一极值，该极值与闭合曲面的形状无关。 称为矢量场的散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。 面积元矢量 P divF>0 divF<0 divF=0 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 散度的计算式： 散度的有关公式： 4. 散度定理(高斯定理) 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 从散度的定义： 该式只对微小体积 成立。对于有限大体积V，分成许多小体积 ΔV1、ΔV2…… 对每一个小体积有： 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S …… ＋ 左 = 右 左： V为整个有限体积 右：各个小体积对应曲面的通量之和 (1)V内两个相邻体积的分界面：在此公共面上，对于两个体积元而言，其外法线方向刚好相反，因此其通量等值异号，相加时相抵消。 (2)V的外表面：外表面上的小面元的通量不会被抵消。 矢量场的环流与旋涡源 例如：水流的流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的矢量线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中对某个闭合路径的积分不为零。 如磁场强度沿任意闭合曲线的积分与通过该闭合曲线所围曲面的电流成正比，即 上式建立了磁场的环流与电流的关系，即安培环路定理